Fundamentación
¿Por qué el nombre?
Pitágoras fue el inventor del método "conservatorio". Cuando regresó de Egipto a su ciudad natal, Samos, organizó un "círculo" de estudios, el cual se reunía en un teatro cuya forma era la de un semicírculo. A este círculo de estudios, que poco a poco se fue denominando semicírculo, podían pertenecer niños(as), adolescentes, jóvenes y adultos, incluso personas de la tercera edad y familias completas. Para Pitágoras no existía ningún tipo de discriminación, ni siquiera la edad para alcanzar el conocimiento.
Fundamentos teóricos
A lo largo de la investigación, el grupo MUSA-E1 ha venido adoptando un enfoque teórico, inspirado principalmente en la Sociología de la Ciencia y de la Educación y cuyos principios básicos pueden resumirse en los siguientes puntos:
División social del trabajo. Según Emil Durkheim, los diferentes grupos humanos aprenden rápidamente a dividir responsabilidades para poder subsistir, pues no es posible que una sola persona responda por todas las tareas que el grupo necesita adelantar. Este imperativo social, que es también de naturaleza biológica y puramente lógica, es todavía mucho más claro en el mundo globalizado de nuestros días el cual, gracias a las innovaciones tecnológicas como el Internet, le imprime una mayor aceleración a la especialización: ya no es posible, aunque se quisiera, manejar, por parte de ninguna persona o grupo, el inmenso caudal de información acerca de un tópico determinado. Este principio básico tiene una cara doble, expresada en aforismos como "sólo sé que nada sé"; o "conocer más y más acerca de menos y menos", uno de cuyos lados es la necesidad de focalizar nuestras acciones, mientras que el otro consiste en el abandono responsable de otras tareas. Para actuar como un zapatero de calidad aceptable es indispensable renunciar a todos los oficios restantes, o al menos a la gran mayoría de ellos, pues cada oficio exige concentración. Ese es el sentido del dicho: "zapatero a tus zapatos".
Los especialistas académicos. El oficio académico tiene ya una larga historia y es, hoy por hoy, una opción de vida a la cual tienen derecho todos los niños, todas las niñas, y todos(as) los (as) adolescentes y jóvenes. Esta especialidad no es lógicamente necesaria pues es posible la existencia de grupos humanos que logran formas de vida estables sin ninguna actividad académica, como sería el caso de las comunidades indígenas. Sin embargo, como una posibilidad de vida, existe, esta presente y da "para comer"; es por lo tanto un derecho y un deber. Un derecho para todos(as) aquellos(as) que buscan un oficio atractivo y satisfactorio y un deber para los adultos de garantizar que esta opción sea posible y pueda realizarse.
La identidad de las organizaciones educativas y de los educadores. La división social del trabajo implica que numerosas personas y organizaciones respondan por el desarrollo y el fortalecimiento del mundo académico. Los profesionales académicos, al igual que los artesanos de todas las épocas, necesitan procesos de formación al lado de especialistas ya experimentados y para ello, todas las sociedades modernas han construido organizaciones cuya especialidad es precisamente esa: la formación en el manejo de valores académicos; estas son las organizaciones educativas de todos los niveles. Contrariamente a lo que sugiere su nombre, la especificidad de estas organizaciones no es la educación; todos los grupos humanos educan, incluso, existen grandes proyectos que explicitan un importante hecho sobre las ciudades: ellas educan (La ciudad educadora).
También educan el hogar, el barrio, las iglesias, los clubes deportivos, las "galladas" y por supuesto, las organizaciones educativas. Pero, si todos los grupos humanos educan y el hecho mismo de vivir es un proceso educativo, ¿para qué se necesitan las organizaciones educativas? Hay muchas respuestas posibles, por ejemplo, algunos estudiosos señalan que ellas existen para garantizar que las relaciones de poder y dominación se mantengan y se reproduzcan. Sin embargo, una vez más, todos los grupos humanos reproducen y fortalecen estas relaciones, incluso, algunas organizaciones utilizan la fuerza física y las armas como herramientas de dominación y de imposición; también están los partidos políticos como organizaciones especializadas en el arte de la reproducción del poder. Naturalmente, en las organizaciones educativas se reproducen modalidades de dominación que pueden ser explicitas o bien ocultas; pero, esto no es lo que las identifica y las hace indispensables. Podría afirmarse que son ellas las encargadas del manejo de los poderes que se difunden y transmiten a través de los hábitos académicos.
También esta la formula dual: el poder académico es un poder liberador, es el que convierte, o puede convertir, todo tipo de violencia en "violencia simbólica", en aquella cuyas armas no se compran ni se venden y tienen un gran valor pero ningún precio: los valores académicos. El derecho a convertirse en profesional académico solo se puede materializar recorriendo el sistema educativo, ojalá lo más rápido posible; son, entonces, las organizaciones educativas las especializadas en reproducir, desarrollar y fortalecer el mundo académico, ofreciendo a los estudiantes las mejores condiciones para la apropiación y práctica de los mejores valores académicos. El (La) educador(a) que debería llamarse "el (la) académico(a)", es el (la) responsable de que sus estudiantes avancen, con la velocidad que cada quien pueda, en ese difícil y largo proceso de ingresar al mundo académico, de apropiarse de los valores que son específicos de este mundo tan particular, como mínimo apropiándose del aspecto académico de la educación. Este tipo de entrenamiento no lo ofrecen otras organizaciones pues ellas no existen para eso; el ejercito, pongamos por caso, difunde y defiende otro tipo de valores, los que se llaman "castrenses" o "militares"; análogamente, el cine reproduce otro tipo especial de hábitos y creencias; solo la "escuela"y los "maestros" están en condiciones de apoyar a todos(as) aquellos (as) que elijan, poco a poco, el mundo laboral de la investigación, o el mundo laboral de las profesiones.
Los valores académicos. Un valor académico fundamental tiene que ver con las diferentes modalidades de representación que elaboran los seres humanos; estas se pueden organizar en tres grandes grupos, cada uno de ellos con sus propias características diferenciales y su propia tipología y con múltiples relaciones entre ellos: mitos y religiones, imaginarios y narraciones libres, y teorías. Los académicos investigan, pero lo hacen guiados por diferentes teorías y en interacción con otros académicos que trabajan en temas análogos y con métodos muy parecidos. Esta modalidad de vida, y el tipo de interacción tan específica, recibe el nombre de "interacción entre pares" y crea "rituales", también muy específicos, que se aprenden poco a poco, después de un proceso muy exigente. Este primer ejemplo, el de aprender a representar mediante teorías, resulta bastante complejo porque las teorías deben competir con las otras modalidades de representación, especialmente con los imaginarios o creencias espontáneas. La imaginación es una de las facultades intelectuales más fundamentales de todo ser humano, especialmente para todo aquello que tiene que ver con el bienestar individual o colectivo.
En últimas, todas las creencias que adopta una persona o un grupo de personas le permiten orientar las acciones pero, muy especialmente le ofrecen respuestas a las dificultades e inquietudes que diariamente van apareciendo. Un caso típico es el de buscar un culpable para cada situación molesta o desagradable o también, para cada momento de satisfacción; hay entonces malos y buenos espíritus, o malos y buenos compañeros de trabajo, o malos y buenos gobernantes, etc. La enorme ventaja de los imaginarios es doble: se construyen con gran facilidad y producen satisfacción o tranquilidad inmediata. Las teorías, por el contrario son demasiado exigentes y la satisfacción que producen solo se experimenta después de mucho trabajo con ellas. A propósito de la palabra "trabajo", es muy popular el imaginario que le otorga la connotación de "difícil y dispendioso". A nivel académico esta palabra, por el contrario, tiende a significar algo muy diferente, es lo normal, no es un castigo como lo declara una canción muy famosa y un mito fundamental: "El trabajo lo hizo Dios como castigo". Todo lo contrario, el académico es feliz trabajando, se siente satisfecho con lo que hace y muy especialmente con lo que construye gracias a su trabajo. Adoptar esta característica como un valor es también el resultado de un proceso prolongado que debe iniciarse lo más pronto posible.
Hay otros valores académicos fundamentales; por ejemplo, leer y escribir informes de investigación. Esta es una de las claves para que la interacción entre pares sea efectiva; todo académico debe habituarse a colocar sus puntos de vista, o las soluciones que propone a un determinado problema, en algún medio accesible a todo el mundo y muy especialmente a sus pares y así, estos últimos pueden evaluarlos y criticarlos. El conocimiento es entonces una actividad pública; no tiene dueño, aunque algunos, como el monopolista del ciberespacio, quieran adueñarse de él. He aquí otro valor académico: el conocimiento pertenece a todo el mundo y una de las garantes de que ello sea así es que este se pueda colocar en medios materiales de libre acceso.
Una buena guía es el siguiente grafito: En las organizaciones educativas se educa para la adquisición y uso de los valores académicos.
El mundo académico de la Educación Matemática. Con el tiempo, el conocimiento matemático se ha convertido en uno de los componentes fundamentales de las representaciones académicas, es decir, de las teorías. En esta forma, se producen encuentros muy productivos entre las teorías construidas y desarrolladas por los matemáticos, y las teorías de otros ámbitos académicos. Incluso se producen situaciones muy interesantes cuando especialistas de otras disciplinas logran construir teorías matemáticas para el desarrollo de sus propias teorías; un ejemplo muy interesante es el de las teorías lingüísticas iniciadas por el profesor Noam Chomsky quién en su búsqueda de una definición adecuada de gramática elaboró los principios de una teoría que ha enriquecido los fundamentos de la matemática computacional.
Aparece pues el derecho de todos a acceder a este tipo de conocimiento y el deber de los adultos de garantizar que este derecho se pueda materializar; se requieren, entonces, personas dedicadas a formular y realizar distintas propuestas para apoyar a todas aquellas personas, especialmente a los (as) niños (as), adolescentes y jóvenes, que quieran acceder al conocimiento matemático o al menos a tener buenas relaciones con este conocimiento tan especial. Surgió, así, hace ya un buen número de años, una nueva actividad académica: la de responder por el cultivo de las matemáticas en todas las organizaciones educativas; es el encuentro de dos mundos académicos, el de la matemática y el de la educación. Se trata entonces de organizar propuestas teóricas y proyectos orientados por estas teorías, para lograr que en todas las organizaciones educativas se incremente el número de personas que organizan imaginarios amables con respecto a las matemáticas, y más generalmente con respecto al trabajo académico, y ojalá, que aumente el número de personas dispuestas a trabajar seriamente con el conocimiento matemático.
El (la) educador(a) matemático(a) es el representante principal en cada organización educativa de este triple mundo académico:
El (ella) participa (o debería participar) en proyectos típicamente educativos (p.e. en alguno del ámbito de la administración educativa), en proyectos estrictamente matemáticos (como mínimo en alguno de los temas de la matemática elemental), y en proyectos mixtos (p.e. en Didáctica de la Matemática).
Hay dos grandes procesos formativos en el mundo de la Educación Matemática: el de la matemática para todos y el de la matemática para aquellos que muestran intereses especiales en esta disciplina y que son talentos cuando trabajan en matemáticas; es un deber de los educadores matemáticos atender a estas dos necesidades.
La Didáctica de la Matemática. Esta disciplina académica es una de las que resultan de este encuentro de los mundos académicos de la Educación y de la Matemática, y tiene, por tanto, dos caras básicas: La Didáctica de la Matemática orientada fundamentalmente hacia la formación ciudadana, y la Didáctica de la Matemática que enfatiza la formación académica. Cada uno de estos ámbitos de investigación resultan indispensables en las organizaciones educativas pues en todas ellas existen estudiantes cuyos intereses se alejan de la matemática y otros a quienes, por el contrario, les llama la atención la matemática en si misma o como herramienta para otro tipo de fascinación académica. En el primer ámbito didáctico prima el propósito de la formación de futuros ciudadanos y allí, la matemática participa en su calidad de "formadora" o como disciplina estrictamente educativa; por este motivo, algunos especialistas hablan de "Matemática Educativa" para referirse a este modo de entender lo didáctico. Pero, para la buena fortuna del mundo académico en general y del mundo matemático en particular, existen estudiantes que muestran verdadero talento para las matemáticas: se motivan grandemente con ellas, se interesan en las teorías de esta disciplina y las estudian y trabajan en ellas con entusiasmo. Infortunadamente, para ellos no hay mucho juego pues en la mayoría de las organizaciones educativas, de los niveles básicos y medio principalmente, prima el propósito puramente formativo o "educativo". Esto corre en paralelo con la difusión de una buena cantidad de imaginarios que satanizan el conocimiento matemático; algunos de ellos lo hacen muy sutilmente, por ejemplo, las frases "El profesor de matemáticas no debe ser matemático", o , "El profesor de matemáticas entre más matemáticas sabe más enredado se vuelve", o , "El profesor de matemáticas es una cuchilla" , o , "La matemática es solo para genios", o también, "La matemática es la ciencia de los garabatos", etc. y, la circulación de todos ellos, ayudan a crear una cultura que relega la matemática al nivel de una mera curiosidad. Se necesita, entonces, vitalizar aquel dominio de la didáctica de la matemática que pone el mayor énfasis en los valores académicos. La primera familia de didácticas enfatizan los objetivos que tienen que ver con los valores ciudadanos fundamentales y manejan, entonces, aspectos relacionados con las "competencias básicas" o los "estándares" de calidad y así, se proponen fortalecer los valores culturales principalmente. Estas didácticas exploran, entonces, los temas que se relacionan con la cultura y desarrollan teorías culturales básicas y teorías culturales aplicadas y dentro de este ámbito de reflexiones indagan sobre el papel de la matemática en la cultura ciudadana y elaboran estrategias para que el conocimiento matemático contribuya al fortalecimiento cultural de los estudiantes.
Las didácticas orientadas hacia lo académico investigan principalmente sobre los valores académicos, sobre las comunidades académicas y en general, sobre todo aquello que se relacione con el mundo académico, y así, elaboran estrategias para lograr que aquellos estudiantes más interesados interioricen lo mejor de los valores académicos y los practiquen. En el caso de la matemática, los didáctas del segundo tipo exploran sistemáticamente en los temas del mundo académico de las matemáticas y practican, con sus estudiantes, los mejores valores académicos matemáticos, partiendo del más fundamental: Investigar.
El proyecto "El Semicírculo de la Universidad Sergio Arboleda" es una propuesta de investigación que tiene como objetivo principal el desarrollar y aplicar didácticas para la formación del talento matemático.
La investigación en matemáticas. Un imaginario muy poderoso, y por supuesto muy difundido, niega la posibilidad de realizar investigación matemática en las organizaciones educativas de nivel básico y medio. Este imaginario se manifiesta de muchas maneras, por ejemplo en el grafito ya mencionado "La matemática es solo para genios". Una de las claves para el fortalecimiento del papel positivo de la matemática en la cultura consiste en revertir ese imaginario, entendiendo en primer lugar el principio de la división social del trabajo: lo que realmente existe son niños, niñas, adolescentes, jóvenes, y en general personas, que se interesan en el conocimiento matemático y lo cultivan con entusiasmo y disciplina y pueden realizar investigaciones. Para el caso de los menores de edad, esto es posible si se comprende también otro hecho fundamental: la matemática se practica en niveles, básicamente tres:
Estos tres niveles, a su vez, se descomponen en subniveles y tienen que ver con la manera como se ha organizado el sistema educativo, y por supuesto, con las edades de las personas. Sin embargo, otro asunto crucial es el de comprender, como en el caso de la música y de los deportes, que lo fundamental es la práctica de cierto tipo de valores. Cuando se aplica el calificativo de "virtuoso" a un académico del mundo musical, nos referimos a un "músico avanzado"; pero, esto no excluye la existencia de "músicos elementales" o más bien "músicos populares", que también pueden ser virtuosos. En los dos casos, se esta hablando acerca de "músicos" y ninguno de ellos es mejor que el otro; simplemente, se produjo una división del trabajo, pues hay aficionados -desde melómanos hasta profesionales de la música- a la música "popular" y a la música "culta". Y en el interior de cada tipo, existen subdivisiones.
Algo similar ocurre en los deportes; pongamos solo un caso; multitud de personas saben nadar, otras además practican la natación con cierta regularidad y un pequeño grupo son nadadores de "gran rendimiento". Aquí tampoco se trata de buenos y malos, o genios y brutos; una vez más es la división social del trabajo: a algunos les gusta la natación mucho más que a otros, y por diferentes situaciones unos la pueden practicar más que los demás.
En el caso de la matemática ocurre algo completamente similar, hay división social del trabajo de muchas maneras. Existen, por ejemplo, algebristas, geómetras, analistas, lógicos, estadísticos, etc. Pero existen también geómetras elementales, geómetras superiores y geómetras avanzados. En cada una de estas especialidades se realiza investigación y como en todos los procesos académicos, los productos pueden ser de buena o de mala calidad pero, esto no tiene nada que ver con el nivel. Aparecen aquí nuevos imaginarios: "Lo elemental es de mala calidad", o como dice otro "Elemental mi querido Watson"; o algo así como "Pero si eso es elemental".En el imaginario de muchas personas, la palabra "elemental" tiene una carga negativa, muy relacionada con expresiones del tipo "obvio", "trivial", tan utilizadas por algunos matemáticos petulantes. Es necesario reinterpretar esta palabra y utilizarla en la forma como corresponde a la práctica matemática. Cuando se usa el adjetivo "elemental" para referirse, por ejemplo, a la Geometría de Euclides, algunos lo hacen peyorativamente pero, otros, los que entienden bien el trabajo matemático, lo hacen sabiendo que esta teoría es una de las más profundas, y al mismo tiempo de las más antiguas de la matemática.
El profesor I. Yaglom, uno de los más importantes animadores del método de las olimpiadas matemáticas, ha sugerido una definición que convierte la matemática en una ciencia experimental: matemática elemental es aquella que puede construirse con estudiantes de las escuelas y colegios. En esta definición, Yaglom no se está refiriendo a la "matemática escolar", es decir, a la matemática curricular; hace referencia al hecho de construir conocimiento matemático.
Su propuesta tiene fundamento en la profunda convicción, producto de sus experimentos en organizaciones educativas del nivel básico y medio y con las olimpiadas de matemáticas, en las posibilidades inmensas de los niños(as), adolescentes y jóvenes y por supuesto también de los maestros, de actuar como matemáticos, manejando las teorías matemáticas y resolviendo problemas de estas teorías. Naturalmente, como no todos se interesan en el conocimiento matemático, es necesario adoptar dos grandes metodologías: unas para trabajar con estudiantes poco interesados, y otras para aquellos altamente motivados. La dicotomía "Matemáticas para todos vs. Matemáticas para académicos" debe entenderse como una nueva división del trabajo. Se requieren expertos en la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas para todos aquellos estudiantes que han escogido intereses muy distintos a los del mundo académico y en particular a los del mundo de las matemáticas y también, expertos en los procesos de enseñanza - aprendizaje de las matemáticas para quienes poco a poco han construido intereses académicos claros y especialmente por el conocimiento matemático. Por eso existen metodologías como los clubes o círculos de matemáticas, las olimpiadas de matemáticas y más recientemente la de los semicírculos.
Los semicírculos. El desarrollo sicoafectivo y cognoscitivo de las personas requiere de la aplicación de principios pedagógicos básicos como el de no mezclar en una misma aula a estudiantes de edades bastante diferentes. Sin embargo, las modernas tecnologías y el desarrollo cultural de muchas familias, han creado nuevos contextos y nuevas condiciones que permiten un desarrollo cognitivo y afectivo más rápido que en años anteriores. Vale la pena, entonces, realizar unos ajustes a ciertos principios básicos y considerar, entonces, nuevas propuestas que contribuyan al desarrollo más acelerado de los talentos. Existen, por ejemplo, talentos matemáticos, tal y como existen talentos musicales y deportivos. No debe extrañarnos que los niños y las niñas concursen, con gran éxito, en los festivales anuales de vallenato, pues la cultura del vallenato es verdaderamente poderosa y captura a los niños y a las niñas. Y aunque parezca extraño, la matemática también captura a los niños y a las niñas. El método del conservatorio, ideado posiblemente por Pitágoras con su propuesta de los semi-círculos, tiene como característica fundamental la de permitir que los niños y las niñas realicen estudios formales en música. ¿Porqué no implementar una metodología similar para el caso de las matemáticas? ¿Porqué no pensar en los "conservatorios de matemáticas"?
El método semicírculo es, con el nombre original, el método ideado por Pitágoras para permitir que todas las personas, independientemente de la edad, la raza, el género, el nivel socio- económico, etc. accedan al conocimiento. La propuesta del Semicírculo de la Universidad Sergio Arboleda tiene, entonces, el propósito de permitir que todas las personas, especialmente niños(as), adolescentes y jóvenes mejoren sus relaciones con el conocimiento matemático, ojalá vinculándose a un proyecto de investigación.
Aprender con los clásicos. Una de las claves para la formación académica, y entonces un valor fundamental, es la creatividad; es decir aquella facultad de los seres humanos de generar información nueva a partir de la información ya existente. Esta facultad la posee todo ser humano pero, es necesario orientarla y educarla pues como ya se dijo, puede dedicarse a la creación y circulación de simples imaginarios. Aún si una persona se dedica al vuelo incontrolado de la imaginación, se requiere entrenamiento, especialmente si se quiere tener éxito como artista o escritor.
Existen muchas formas de educar la creatividad; de hecho, ésta se puede clasificar en dos grandes grupos: creatividad en el interior de una teoría o sistema regulado y creatividad para proponer y desarrollar una nueva teoría o un nuevo sistema regulado. Podríamos referirnos a estas dos modalidades en otra forma: ser creativo respetando y siguiendo las reglas y ser creativo construyendo un nuevo sistema de reglas. Es posible ser creativo en la primera forma sin serlo en la segunda; pero, es imposible la creatividad exclusivamente en el segundo tipo. En efecto, si se construye un nuevo sistema es porque ocurren dos cosas: se conocen muy bien los sistemas existentes y se trata de superar alguna de sus limitaciones, o se tiene ya uno nuevo y entonces, es necesario desarrollarlo y hacer explícito su atractivo. Esto lo ha explicado muy bien Noam Chomsky con su teoría del conocimiento: conocer significa practicar simultáneamente la sabiduría y la ignorancia, es una forma epistemológica del principio sociológico de la división de trabajo. Entre más sabio (experto en el manejo de una o más teorías) más ignorante (inexperto en otras teorías). En consecuencia lo académico tiene doble cara: la del experto y la del ignorante y no es nada fácil aceptar que se es ignorante, esta es la parte más difícil de educar, no se produce sola; pues la tendencia natural, gracias a los imaginarios, es la de adoptar la actitud del sabio, la de alguien que sabe de todo.
Pero todo esto nos lo muestran claramente los académicos de todos los tiempos; son ellos los que nos enseñan mejor cómo es que han construido el conocimiento, cómo es que han sido a la vez sabios e ignorantes; cómo es que manejan simultáneamente teorías, imaginarios y mitos.
"Aprender con los clásicos" es, entonces, uno de los grafitos más útiles para avanzar en el trabajo académico; especialmente con los más reconocidos como Pitágoras o Gauss, o con las teorías más tradicionales como la Aritmética y la Geometría elementales.
Propuestas didácticas fundamentales en la disciplina, en su historia y su filosofía. La Didáctica para la formación académica se fundamenta muy estrechamente en las disciplinas, en sus teorías y en sus métodos; se busca organizar actividades para que los estudiantes se apropien de estas teorías y de estos métodos, primero muy informalmente y luego, ojalá muy rápidamente, con el rigor propio de esta actividad académica. En este tipo de trabajo no importa mucho si el (la) estudiante es capaz o no de hacer cuentas en un supermercado sino, mas bien, si logra dejarse capturar por la dinámica propia de las teorías matemáticas.
Las propuestas que se ofrecen en está página no tienen el propósito de ayudar a quienes las utilicen, a desenvolverse mejor con porcentajes, áreas, longitudes, etc. Para ello existen las otras propuestas didácticas: las del mundo de la cotidianidad, las de la formación ciudadana. Se propone llamar la atención sobre un único hecho fundamental: es posible construir conocimiento matemático a nivel elemental. En la propuesta pitagórica, por ejemplo, se utilizan los métodos del pitagorismo para formular y demostrar teoremas profundos como la famosa formula de Euler: V + C - L = 2. Esta fórmula no sirve mucho para el mejor desempeño en las actividades de todos los días; pero, llegar a ella por el camino de una teoría, muestra muy claramente cómo se realiza el trabajo matemático, cómo se construyen teoremas así estos ya sean conocidos. Ejemplos análogos se encontraran en otras partes de esta página. Cada propuesta es una invitación a trabajar con grupos de estudiantes talentosos, es decir, niños y niñas que se divierten trabajando con la matemática y lo hacen eficazmente.
Jesús Hernando Pérez
Coordinador Proyecto Semicírculo
